L'Astronomie en toute simplicité

Concepts et formules utiles diverses

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Cet article rassemble un certain nombre de concepts et formules que l’on est susceptible de rencontrer et d’utiliser dans notre activité d’astronome amateur

Un peu de mathématiques

Taille angulaire

En astronomie la taille des objets est définie par l’angle sous lequel ils apparaissent

Formules_1

On a la formule suivante :

Formules_2

Soit :

Formules_3

Avec L et D dans la même unité de longueur et α en degrés

Prenons l’exemple de la Lune

  • L = 3475 km
  • D = 384 000 km (en moyenne)

Le calcule donne α = 0.52°, soit 31′

Degrés et radians

Certaines formules nécessitent de mesurer un angle en radians. La mesure d’un angle α en radians est définie comme suit

Formules_4

Le cercle complet de 360° correspond à 2π radians, un radian vaut donc 57.3°

Pour des angles inférieurs à 0.1 radian (environ 5°) on peut écrire l’approximation suivante :

Formules_5

Vérifions avec la Lune :

Formules_6

Avec L et D dans la même unité de longueur et α en radians

Le calcule donne pour la Lune α = 0.009 radians, soit 0.52°, soit le résultat trouvé ci-dessus

Un peu d’optique

Il n’est pas inutile de connaître quelques formules d’optique, cela permet entre autre de savoir évaluer l’influence d’une barlow ou d’un réducteur de focale

On considère ces systèmes comme des lentilles minces,ce qui simplifie les calculs, et reste une bonne approximation. On ne démontre pas les formules, il ne s’agit pas d’un cours d’optique

Lentille convergente

Formules_10

On a la formule suivante :

Formules_8

  • F : foyer objet
  • F’ : foyer image
  • f’ : distance focale

Les distances vers la droite sont positives, les distances vers la gauche sont négatives

  • Si l’objet est situé à une très grande distance (objets du ciel), 1/p devient très petit (proche de zéro), on peut le négliger, on a alors p’ = f’, l’image de l’objet est dans le plan focal image (plan perpendiculaire à OF’)
  • Si l’objet est situé à une distance p = 2*f, l’image inversée a la même taille et se situe à une distance 2*f de la lentille
  • Plus l’objet se rapproche du foyer objet, plus l’image inversée grandit et s’éloigne de la lentille
  • Si l’objet est au foyer objet (F), l’image est rejetée à l’infini
  • Si l’objet se situe entre le foyer objet (F) et la lentille, il se forme une image droite agrandie : elle est virtuelle et se situe au-delà du foyer objet (p’ < 0)

Le grandissement est donné par :

Formules_9

Lentille divergente

Formules_11

La formule :

Formules_8

reste valable

  • Si l’objet est réel, l’image est virtuelle, droite et plus petite, d’autant plus petite que l’objet est loin
  • Si l’objet est virtuel, et situé entre la lentille et le foyer objet (F), l’image est réelle : l’objet est par exemple l’image créée par une lentille convergente située devant la lentille divergente

Lentille convergente suivie d’une lentille divergente

Formules_15

Ce schéma correspond à l’utilisation d’une barlow (lentille divergente), la lentille convergente peut être remplacé par tout système optique convergent

L’image A’B’ créée par le système optique convergent, est agrandie en A“B“ par la lentille divergente

Le grandissement vaut :

Formules_14

En regardant les triangles FdOdMd et FdA“B“, on peut écrire :

Formules_16

Plus la distance p’d est importante, plus le grandissement augmente (il faut bien entendu que la barlow soit conçue pour supporter le tirage imposé)

Si p’d = fd, alors G=2

Dans le cas où p’d > fd, on appelle tirage T = p’d – fd, on peut alors écrire :

Formules_17

On vérifie bien que :

  • G=2 pour T=0
  • G=3 pour T = fd

Echantillonnage

L’échantillonnage est la valeur du champ capté par un pixel du capteur, généralement exprimé en arcsecondes, il est donné par la formule :

CF 1

E : échantillonnage et arcsecondes/pixel
P : taille du pixel en μm
F : longueur focale en mm

Un calculateur

Calculer la longueur focale d’un instrument

A partir de la formule de l’échantillonnage ou peut en déduire la longueur focale :

CF 2

E : échantillonnage et arcsecondes/pixel
P : taille du pixel en μm
F : longueur focale en mm

Pour connaître la valeur de E, on réalise la capture d’un objet du ciel dont on connait la taille apparente T en arcsecondes, on en déduit alors la valeur de l’échantillonnage par la formule :

CF 3

T : taille apparente de l’objet en arcsecondes
N : nombre de pixels occupés par l’objet photographié

Ce qui donne la formule :

CF 4

Champ de vision (FOV) du capteur

C’est la taille maximum d’un objet du ciel qui peut être capturée par le capteur, il est donné par la formule :

CF 5

L : longueur ou largeur du capteur en mm
F : longueur focale de l’instrument en mm
FOV : champ en arcsecondes

Taille de la tâche de diffraction

L’image d’une étoile n’a pas un aspect ponctuel du fait de la nature ondulatoire de la lumière, mais prend l’aspect d’une tâche lumineuse centrale (tâche de diffraction ou disque d’Airy) entourée d’un ou plusieurs anneaux.

CF 6

Le rayon en arcsecondes de cette tâche est donné par la formule :

CF 7

R : rayon en arcsecondes
λ : longueur d’on de la lumière en nm
D : diamètre du télescope en mm

En prenant comme longueur d’onde 560 nm (milieu de la bande visible) on a la formule :

CF 8

Pouvoir séparateur

Appelé aussi résolution c’est la capacité de l’instrument à séparer deux points proches (par exemple étoiles doubles). La formule précédente montre qu’une étoile n’est pas rendue ponctuellement à cause de la diffraction, deux points proches auront leurs tâches de diffractions qui se chevaucheront. On considère alors que l’on peut séparer deux points de même brillance et séparés de 0.85 du rayon de la tâche de diffraction. A partir de la formule précédente et pour une longueur d’onde moyenne de 560 nm obtient la formule pour définir la résolution d’un instrument :

CF 9

R : résolution en arcsecondes
D : diamètre du télescope en mm

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